（本题取 $n=\text{prime}_{10001}=104743$）
【思路】使用 $\mathcal O(n)$ 的欧拉筛：
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（本题取 $n=100$）
【思路】先求平方的和，再求和的平方，最后相减。时间复杂度为 $\mathcal O(n)$：
（本题取 $n=20$）
【思路】本题只需求 $1 \sim 20$ 的最小公倍数即可。
而 $\text{lcm}(a,b)=\dfrac{ab}{\gcd(a,b)}$，因此问题转化成了求 $\gcd$（为了防止爆 int 可以先除后乘或者直接开 long long）。时间复杂度为 $\mathcal O(\log n)$：
【欧拉计划】4. Largest palindrome product
（本题取 $d=10$，$n=1000-100=900$）
【思路】显然满足要求的最大回文数一定为六位数。因此我们只需要三重循环枚举前三位，然后通过回文数性质得到后三位，从而得到一个六位数。最后枚举是否能表示成两个三位数乘积即可。时间复杂度为 $\mathcal O(d^3n)$：
（本题取 $n=600851475143$）
【思路】在区间 $[2,n]$ 内倒序枚举 $n$ 的所有质因数，输出第一个遍历到的。时空复杂度分别为 $\mathcal O(n \sqrt n)$，$\mathcal O(1)$。
【优化 $1$】在原思路的基础上使用埃氏筛，时间复杂度优化为 $\mathcal O(n \ln \ln n+n)$；使用欧拉筛可优化为 $\mathcal O(n)$。
【优化 $2$】在原思路的基础上将区间缩小为 $[2,\sqrt n]$，时间复杂度优化为 $\mathcal O(n)$。
【优化 $3$】结合优化 $1,2$，时间复杂度可进一步优化至 $\mathcal O(\sqrt n)$（后面研究质数时不再提及质数判断法或埃氏筛，一律只保留欧拉筛）。
【优化 $4$】在【优化 $3$】的基础上，将循环改为正序。这样能减小时间复杂度的常数，同时将空间复杂度降为 $\mathcal O(1)$：
【欧拉计划】2. Even Fibonacci numbers
（本题取 $n=\lfloor \text{fib}^{-1}(4000000) \rfloor=33$）
【思路】运用斐波那契数列递推公式 $a_i=a_{i-1}+a_{i-2}$ 进行递推，超过 $4000000$ 就中断。最后统计其中偶数的和即可。时空复杂度均为 $\mathcal O(n)$。
【优化 $1$】采用滚动变量，将空间复杂度优化到 $\mathcal O(1)$：
（本题取 $n=1000$）
【思路】$\mathcal O(n)$ 枚举所有能被 $3$ 和被 $5$ 整除的数，最后把能被 $15$ 整除的数减掉：
信息竞赛
化学笔记
Project Euler
数学精选题目整理原子的参数包括：
- 原子半径
- 电离能：气态原子或离子失去电子所需吸收的能量。
- 电子亲和能：气态原子或离子得到电子所需放出的能量。
- 电负性：在一个分子中，一个原子将电子吸引到它自身的能力（得失电子能力 / 氧化或还原能力）。其中电离能和电子亲和能综合起来可以决定电负性。
我们不妨先根据构造原理写出每一能层的电子数：
| $1 \text s$ | $2 \text s$|$2 \text p$ | $3 \text s$|$3 \text p$ | $4 \text s$|$3 \text d$|$4 \text p$ | $5 \text s$|$4 \text d$|$5 \text p$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $2$ | $2$|$6$ | $2$|$6$ | $2$|$10$|$6$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $2$ | $4$|$10$ | $12$|$18$ | $20$|$30$|$36$ | $54$ | $\cdots$ |
| $\text{He}$ | $\text{Ne}$ | $\text{Ar}$ | $\text{Kr}$ | $\text{Xe}$ | $\text{Rn}$ |