（本题取 $n=600851475143$）

【思路】在区间 $[2,n]$ 内倒序枚举 $n$ 的所有质因数，输出第一个遍历到的。时空复杂度分别为 $\mathcal O(n \sqrt n)$，$\mathcal O(1)$。

【优化 $1$】在原思路的基础上使用埃氏筛，时间复杂度优化为 $\mathcal O(n \ln \ln n+n)$；使用欧拉筛可优化为 $\mathcal O(n)$。

【优化 $2$】在原思路的基础上将区间缩小为 $[2,\sqrt n]$，时间复杂度优化为 $\mathcal O(n)$。

【优化 $3$】结合优化 $1,2$，时间复杂度可进一步优化至 $\mathcal O(\sqrt n)$（后面研究质数时不再提及质数判断法或埃氏筛，一律只保留欧拉筛）。

【优化 $4$】在【优化 $3$】的基础上，将循环改为正序。这样能减小时间复杂度的常数，同时将空间复杂度降为 $\mathcal O(1)$：

（本题取 $n=\lfloor \text{fib}^{-1}(4000000) \rfloor=33$）

【思路】运用斐波那契数列递推公式 $a_i=a_{i-1}+a_{i-2}$ 进行递推，超过 $4000000$ 就中断。最后统计其中偶数的和即可。时空复杂度均为 $\mathcal O(n)$。

【优化 $1$】采用滚动变量，将空间复杂度优化到 $\mathcal O(1)$：

（本题取 $n=1000$）

【思路】$\mathcal O(n)$ 枚举所有能被 $3$ 和被 $5$ 整除的数，最后把能被 $15$ 整除的数减掉：