（本题取 $n=9$）

【思路】题目描述得有些模糊，要求我们找到两个十位数 $a,b$（$a \lt b$），使得 $a$ 的十位数和 $b$ 的个位数相等，同时使得 $\dfrac{a}{b}$ 与 $a,b$ 分别删去相同位数之后的商相等。

由于有两个数位相等，因此我们只需要枚举三个数位，这样就可以在 $\mathcal O(n^3)$ 枚举出所有的情况。约分需要用到 $\gcd$，因此最终时间复杂度为 $\mathcal O(n^3 \log n)$：

（本题取 $n=9$）

【思路】我们可以 $\mathcal O(n!)$ 获得 $1 \sim 9$ 的排列，然后在排列组成的九位数中插两个空——其中一个位于两个乘数之间（相当于乘号），另一个位于左式和右式之间（相当于等号）。最后我们检查一下等式是否正确，正确就累加进入答案：

（本题取 $n=200$，$m=8$）

【思路】通过观察不难发现本题考察的是 DP。

如果我们用 $dp_{i,j}$ 表示使用 $j$ 种不同面额凑出 $i$ 分钱的方案个数，那么显然有初始状态：

$$dp_{0,1}=1$$

由于本题数据范围不大，我们可以暴力递推，从而覆盖所有情况。用 $val_i$ 表示第 $i$ 种货币的面额，则有：

$$dp_{i,j}=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^j dp_{i-val_j,k}$$

这样我们便得到了一个 $\mathcal O(nm^2)$ 的做法：

【思路】从二位数开始枚举，直到到达一个较大的预先设置好的上界，在枚举时暴力判断是否符合题意即可：

（本题取 $n=100$）

【思路】考虑构造一个元素不可重的集合，通过 $\mathcal O(n^2)$ 的二维循环枚举所有乘方的结果，最后统计集合内元素个数：

（本题取 $n=1000$）

【思路】首先可以发现 $1$ 位于矩阵正中央，即 $(501,501)$ 处。

通过找规律可以发现，每走一步需要顺时针变换一次方向，但是如果已经走过或越界则需再次变换。这样，我们就可以遍历整个矩阵，从而在 $\mathcal O(n^2)$ 的效率下求出对角线的元素之和：

（本题取 $n=1000$）

【思路】由于范围不大，因而可以直接 $\mathcal O(n^2)$ 枚举，然后套上质数的判断即可。由于待判断的数大小不确定，因而用质数判断函数来代替欧拉筛：

【思路】这题的关键就是如何得到循环节。试想，当我们把一个单位分数扩大 $10$ 的若干次幂之后，得到的数的整数部分会出现循环。

因此，我们可以重复地将一个初始值为 $1$ 的数对单位分数的分母取模，然后乘上 $10$。

每操作一次，就检查这个数是否已经出现过。如果出现过，就说明已经找到循环节；否则标记并继续操作：

【思路】采用 Problem 2 中滚动数组的方法，再使用 Python 模拟 / C/C++ 高精度：

（本题取 $n=10$）

【思路】$\mathcal O(n!)$ 枚举所有排列情况，可用 DFS 实现或直接调用函数 next_permutation：